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What's the difference between hajimeru and hajimaru?

Japanese has many pairs of verbs where one verb takes an object and the other does not, such as hajimaru (to begin) and hajimeru (to begin). For example,

Jugyō ga hajimaru (授業がはじまる) = the class starts
Sensei ga jugyō wo hajimeru (先生が授業をはじめる) = the teacher starts the class

are correct, but

Jugyō ga hajimeru (授業がはじめる)
Sensei ga jugyō wo hajimaru (先生が授業をはじまる)

are mistakes, because hajimeru needs an object, but hajimaru cannot take an object.

In English, verbs like hajimeru which take an object are called transitive verbs, and verbs like hajimaru which do not take an object are called intransitive verbs. In Japanese these are called tadōshi (他動詞) and jidōshi (自動詞) respectively.

There are a great deal of other examples of these pairs of verb. For example ochiru and otosu meaning "to drop":

Zeni ga ochita (銭がおちた) "the coin dropped"
Heiji ga zeni wo otoshita (平次が銭をおとした) "Heiji dropped the coin"

Here is a table of some pairs. Where verbs have the same form but different meanings, the meanings and kanji are separated with a semicolon. (This table is ordered by Japanese kana ordering, see What is the origin of the gojūon kana ordering?)

Intransitive			Transitive
Romaji	Kana	Meaning	Romaji	Kana	Meaning	Kanji
agaru	あがる	rise; be fried	ageru	あげる	raise; fry	挙, 上; 揚
aku	あく	open	akeru	あける	open	開, 空, 明
asobu	あそぶ	play	asobasu	あそばす	let play	遊
atatamaru	あたたまる	get warm	atatameru	あたためる	warm	温
ataru	あたる	hit	ateru	あてる	hit	当
atsumaru	あつまる	be gathered	atsumeru	あつめる	gather	集
amaru	あまる	be left	amasu	あます	leave	余
aratamaru	あらたまる	be renewed	aratameru	あらためる	renew	改
arawareru	あらわれる	appear	arawasu	あらわす	show	現
ikiru	いきる	live	ikasu	いかす	make live	生
itamu	いたむ	be damaged; be hurt	itameru	いためる	damage; hurt	傷; 痛
iburu	いぶる	smoke	ibusu	いぶす	smoke	燻
uwaru	うわる	be planted	ueru	うえる	plant	植
ukabu	うかぶ	float up	ukaberu	うかべる	float up	浮
uku	うく	float	ukasu	うかす	float	浮
ugoku	うごく	move	ugokasu	うごかす	move	動
utsuru	うつる	move (a to b); be reflected; project	utsusu	うつす	move (a to b); reflect; project	移; 映; 写
umareru	うまれる	be born	umu	うむ	give birth	生
ureru	うれる	sell	uru	うる	sell	売
okiru	おきる	wake up	okosu	おこす	wake up	起
osamaru	おさまる	be ruled; be obtained; be controlled; be reached	osameru	おさめる	rule; obtain; control; reach	治; 収; 修; 納
ochiru	おちる	fall	otosu	おとす	drop	落
odoroku	おどろく	be surprised	odorokasu	おどろかす	surprise	驚
oboreru	おぼれる	drown	oborasu	おぼらす	drown	溺
oriru	おりる	go down	orosu	おろす	lower	降
oreru	おれる	break	oru	おる	break	折
owaru	おわる	finish	oeru	おえる	finish	終
kaeru	かえる	return (home); return	kaesu	かえす	return (home); return	帰; 返
kakaru	かかる	cost	kakeru	かける	spend	掛
kakureru	かくれる	hide	kakusu	かくす	hide	隠
kasanaru	かさなる	piled up	kasaneru	かさねる	pile up	重
katazuku	かたづく	be tidied	katazukeru	かたづける	tidy	片付
katamaru	かたまる	harden	katameru	かためる	harden	固
kaburu	かぶる	wear	kabuseru	かぶせる	cover	被
karamu	からむ	be tangled	karameru	からめる	tangle	絡
kareru	かれる	wither	karasu	からす	let wither	枯
kawaru	かわる	change	kaeru	かえる	change	換, 替, 代, 変
kieru	きえる	disappear	kesu	けす	extinguish	消
kikoeru	きこえる	be audible	kiku	きく	hear	聞
kimaru	きまる	be decided	kimeru	きめる	decide	決
kiyomaru	きよまる	be purified	kiyomeru	きよめる	purify	清
kireru	きれる	be cut	kiru	きる	cut	切
kiwamaru	きわまる	be mastered; reach limit	kiwameru	きわめる	master; take to limit	究, 窮; 極
kudaku	くだく	be smashed	kudakeru	くだける	smash	砕
kudaru	くだる	descend	kudasu	くだす	lower	降, 下
kumoru	くもる	be clouded	kumorasu	くもらす	cloud	曇
kurushimu	くるしむ	suffer	kurushimeru	くるしめる	afflict	苦
kuwawaru	くわわる	join	kuwaeru	くわえる	add to	加
koeru	こえる	become fertile	koyasu	こやす	make fertile	肥
kogeru	こげる	be scorched	kogasu	こがす	scorch	焦
koboreru	こぼれる	be spilt	kobosu	こぼす	spill	零
komu	こむ	be crowded	komeru	こめる	croud	込
koru	こる	stiffen	korasu	こらす	stiffen	凝
korogaru	ころがる	roll over	korogasu	ころがす	roll over	転
kowareru	こわれる	be broken	kowasu	こわす	break	壊
sagaru	さがる	hang down	sageru	さげる	hang down	下
sakeru	さける	be torn; be separated	saku	さく	tear; separate	裂; 割
sasaru	ささる	be stuck	sasu	さす	stick	刺
sadamaru	さだまる	be fixed	sadameru	さだめる	fix	定
sameru	さめる	cool; wake	samasu	さます	cool; wake	冷; 覚
shizumu	しずむ	sink	shizumeru	しずめる	sink	沈
shizumaru	しずまる	quieten	shizumeru	しずめる	calm	静
shimaru	しまる	be constricted; be closed; be tied	shimeru	しめる	constrict; close; tie	絞; 閉; 締
sugiru	すぎる	pass	sugosu	すごす	pass	過
sumu	すむ	be settled; be clear	sumasu	すます	settle; clarify	済; 澄
sebamaru	せばまる	narrow	sebameru	せばめる	narrow	狭
sodatsu	そだつ	be brought up	sodateru	そだてる	bring up	育
somaru	そまる	be dyed	someru	そめる	dye	染
somukeru	そむける	to have one's back turned	somuku	そむく	to turn one's back to	背
soru	そる	be warped	sorasu	そらす	warp	反
sorou	そろう	be arranged	soroeru	そろえる	arrange	揃
taoreru	たおれる	fall down	taosu	たおす	knock down	倒
tasukaru	たすかる	be rescued	tasukeru	たすける	rescue	助
tatsu	たつ	stand	tateru	たてる	stand	立
tamaru	たまる	be accumulated	tameru	ためる	accumulate	溜
chijimu	ちぢむ	shrink	chijimeru	ちぢめる	shrink	縮
chiru	ちる	be scattered	chirasu	ちらす	scatter	散
tsukaru	つかる	be soaked	tsukeru	つける	soak	漬
tsuku	つく	be attached	tsukeru	つける	attach	付
tsutawaru	つたわる	be conveyed	tsutaeru	つたえる	convey	伝
tsuzuku	つづく	continue	tsuzukeru	つづける	continue	続
tsunagaru	つながる	be connected	tsunagu	つなぐ	connect	繋
tsubureru	つぶれる	be crushed	tsubusu	つぶす	crush	潰
tsumaru	つまる	be blocked	tsumeru	つめる	block	詰
tsumoru	つもる	be loaded	tsumu	つむ	load	積
deru	でる	go out	dasu	だす	send out	出
tōru	とおる	go through	tōsu	とおす	allow through	通
tokeru	とける	fall apart; dissolve; melt	tokasu	とかす	take apart; dissolve; melt	解; 融; 溶
todoku	とどく	arrive	todokeru	とどける	deliver	届
tomaru	とまる	stop; stay	tomeru	とめる	stop; lodge	止; 泊
toreru	とれる	come off	toru	とる	take off	取
naoru	なおる	be fixed; be cured	naosu	なおす	repair; cure	直; 治
nagareru	ながれる	flow	nagasu	ながす	pour	流
naku	なく	cry	nakasu	なかす	make cry	泣
nakunaru	なくなる	lose; die	nakusu	なくす	remove; lose someone	無; 亡
natsuku	なつく	be attached	natsukeru	なつける	gain affection	懐
narabu	ならぶ	form a line	naraberu	ならべる	line up	並
naru	なる	sound	narasu	ならす	sound	鳴
nieru	にえる	be boiled	niru	にる	boil	煮
nigeru	にげる	escape	nigasu	にがす	let escape	逃
nigoru	にごる	become muddy	nigosu	にごす	make muddy	濁
nukeru	ぬける	be thrown	nuku	ぬく	throw	抜
nugeru	ぬげる	come off	nugu	ぬぐ	take off	脱
nureru	ぬれる	get wet	nurasu	ぬらす	dampen	濡
neru	ねる	sleep	nekasu	ねかす	make sleep	寝
nokoru	のこる	remain	nokosu	のこす	leave over	残
nobiru	のびる	be stretched; be prolonged	nobasu	のばす	stretch; prolong	伸; 延
noru	のる	be placed on; appear in print	noseru	のせる	place on; publish	乗; 載
hairu	はいる	enter	ireru	いれる	put in	入
haeru	はえる	grow	hayasu	はやす	grow	生
hagareru	はがれる	peel off	hagasu	はがす	peel off	剥
hagemu	はげむ	endeavour	hagemasu	はげます	encourage	励
hajimaru	はじまる	begin	hajimeru	はじめる	begin	始
hazureru	はずれる	be disconnected	hazusu	はずす	disconnect	外
hanareru	はなれる	leave	hanasu	はなす	separate	離
hareru	はれる	swell; clear away	harasu	はらす	swell; clear away	腫; 晴
hieru	ひえる	cool down	hiyasu	ひやす	cool down	冷
hitaru	ひたる	be soaked	hitasu	ひたす	soak	浸
hirogaru	ひろがる	widen	hirogeru	ひろげる	widen	広
fukamaru	ふかまる	deepen	fukameru	ふかめる	deepen	深
fukuramu	ふくらむ	expand	fukuramasu	ふくらます	expand	膨
fueru	ふえる	increase	fuyasu	ふやす	increase	増, 殖
butsukaru	ぶつかる	be hit	butsukeru	ぶつける	hit	No kanji form
hedataru	へだたる	be separated	hedateru	へだてる	separate	隔
heru	へる	decrease	herasu	へらす	decrease	減
hodokeru	ほどける	come apart	hodoku	ほどく	take apart	解
horobiru	ほろびる	perish	horobosu	ほろぼす	destroy	亡, 滅
magaru	まがる	bend	mageru	まげる	bend	曲
makeru	まける	be defeated	makasu	まかす	defeat	負
mazaru	まざる	be mixed	mazeru	まぜる	mix	混
machigau	まちがう	be wrong	machigaeru	まちがえる	make an error	間違
matomaru	まとまる	conclude	matomeru	まとめる	conclude	纏
mayou	まよう	be lost	mayowasu	まよわす	lose	迷
mawaru	まわる	go round	mawasu	まわす	turn round	回
mieru	みえる	be visible	miru	みる	see	見
midareru	みだれる	be disordered	midasu	みだす	disorder	乱
mitsukaru	みつかる	be found	mitsukeru	みつける	find	見
muku	むく	point towards	mukeru	むける	point towards	向
moeru	もえる	burn	moyasu	もやす	burn	燃
modoru	もどる	return	modosu	もどす	return	戻
moreru	もれる	leak	morasu	もらす	leak	漏
yakeru	やける	burn	yaku	やく	burn	焼
yasumu	やすむ	rest	yasumeru	やすめる	rest	休
yabureru	やぶれる	be torn; be defeated	yaburu	やぶる	tear; defeat	破; 敗
yamu	やむ	stop	yameru	やめる	stop	止
yurumu	ゆるむ	be loose	yurumeru	ゆるめる	loosen	緩
yogoreru	よごれる	be dirty	yogosu	よごす	dirty	汚
yorokobu	よろこぶ	be pleased	yorokobasu	よろこばす	please	喜
yowamaru	よわまる	weaken	yowameru	よわめる	weaken	弱
wakareru	わかれる	be divided	wakeru	わける	divide	分
waku	わく	boil; gush	wakasu	わかす	boil; gush	沸; 湧
wazurau	わずらう	worry	wazurawasu	わずらわす	make worried	煩
wataru	わたる	extend; cross over	watasu	わたす	extend; pass over	渉; 渡
wareru	われる	break	waru	わる	break	割

Note also that azukaru and azukeru are both transitive verbs. This often comes up in tests on trick questions.

https://www.sljfaq.org/afaq/jitadoushi.html